Question

12．已知函数f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$在点（1，f（1））处切线与x轴平行．求实数a的值及f（x）的极值．

Answer 1

分析 求函数的导数，根据导数的几何意义建立条件关系即可求实数a的值及f（x）的极值．

解答 解：函数的f（x）的导数f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-（a+lnx）}{{x}^{2}}$=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=$\frac{1-a-ln1}{{1}^{2}}$=0，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，
f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值．

点评 本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义求出a，以及函数极值，属于中档题．