Question

【题目】数列{an}的前n项和为，且满足，，，.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记，.

①求Tn；

②求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②证明见解析；

【解析】

（1）利用公式得到，再迭代一次得到数列{an}为等差数列，计算得到答案.

（2），利用裂项相消法得到，转化为，构造函数，计算函数单调性得到证明.

（1）因为，所以n=2时，S1=1，即a1=1.

因为n≥2时，，即，时也适合该式.

所以n≥2时，，，

两式相减得，则，

两式相减得，n≥2.

所以，n≥2，所以.

所以数列{an}为等差数列，因为a1=1，a2=2，所以公差d=1，所以.

（2）①因为an=n，所以，

所以，

②要证，只要证，

只要证，即证.

设，x>1，令，x>1，则，

设，，则，函数单调递增，

故，故x>1时，，故在恒成立.

所以在上单调递增，

因为，所以，所以所证不等式成立.