题目内容
【题目】数列{an}的前n项和为,且满足
,
,
,
.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记,
.
①求Tn;
②求证:.
【答案】(1)(2)①
②证明见解析;
【解析】
(1)利用公式得到
,再迭代一次得到数列{an}为等差数列,计算得到答案.
(2),利用裂项相消法得到
,转化为
,构造函数
,计算函数单调性得到证明.
(1)因为,所以n=2时,S1=1,即a1=1.
因为n≥2时,,即
,
时也适合该式.
所以n≥2时,,
,
两式相减得,则
,
两式相减得,n≥2.
所以,n≥2,所以
.
所以数列{an}为等差数列,因为a1=1,a2=2,所以公差d=1,所以.
(2)①因为an=n,所以,
所以,
②要证,只要证
,
只要证,即证
.
设,x>1,令
,x>1,则
,
设,
,则
,函数单调递增,
故,故x>1时,
,故
在
恒成立.
所以在
上单调递增,
因为,所以
,所以所证不等式成立.
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练习册系列答案
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(1)根据茎叶图判断男生组和女生组哪个组对网课的评价更高?并说明理由;
(2)如图是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图,求的值并估计这20名学生评分的平均值(同一组中的数据用该组区间中点值作为代表);
(3)求该20名学生评分的中位数,并将评分超过
和不超过
的学生数填入下面的列联表:
超过 | 不超过 | |
男生 | ||
女生 |
根据列联表,能否有的把握认为男生和女生的评分有差异?
附:,
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | ||
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |