Question

【题目】已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．

（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；

（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=xM；（2）见解析（3）{k|k=mπ，m∈Z}．

【解析】

试题（1）将f（x）=x代入定义（x+T）=Tf（x）验证知函数f（x）=x不属于集合M．

（2）由题意存在x∈R使得ax=x，由新定义知存在非零常数T使得aT=T，将函数关系式代入f（x+T）=Tf（x）验证知f（x）=ax∈M．

（3）若函数f（x）=sinkx∈M，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[﹣1，1]对任意实数都成立，故T=±1．将T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范围即可．

解：（1）对于非零常数T，

f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．

因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，

所以f（x）=xM；

（2）因为函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组：有解，消去y得ax=x，

显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T．

于是对于f（x）=ax有f（x+T）=ax+T=aTax=Tax=Tf（x）故f（x）=ax∈M；

（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．

当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，

对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，

即sin（kx+kT）=Tsinkx．

因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx∈[﹣1，1]，sin（kx+kT）∈[﹣1，1]，

故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，

只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，

则k=2mπ，m∈Z．

当T=﹣1时，sin（kx﹣k）=﹣sinkx成立，

即sin（kx﹣k+π）=sinkx成立，

则﹣k+π=2mπ，m∈Z，即k=﹣（2m﹣1）π，m∈Z．

综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．