题目内容
【题目】在中,设内角
,
,
的对边分别为
,
,
,且
.
(1)若,
,
成等比数列,求证:
;
(2)若(
为锐角),
.求
中
边上的高
.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)由,
,
成等比数列得
,再利用余弦定理及基本不等式求出
的范围,从而证明
;
(2)先利用二倍角公式解得
;再由正弦定理求得
;下面可采用种方法求解.方法一:由余弦定理求得
,再利用
边上的高
代入即得;方法二:先由同角的三角函数的基本关系算出
,进而算出
,再利用
边上的高
代入即得
解:(1)证明:因为,
,
成等比数列,所以
而(当且仅当
时取等号)
又因为为三角形的内角,所以
(2)在中,因为
,所以
.
又因为,
,
所以由正弦定理,解得
法1:由,
得
.
由余弦定理,得
.
解得或
(舍)
所以边上的高
.
法2:由,
得
.
又因为,所以
所以
或(舍)
(或:因为,且
,所以
为锐角,)
又因为所以
∴
所以边上的高
.
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