题目内容

【题目】已知三棱柱中,,点的中点,.

1)求证:平面

2)条件①:直线与平面所成的角为

条件②:为锐角,三棱锥的体积为.

在以上两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题:

若平面平面______,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】1)见解析;(2)见解析.

【解析】

1)延长于点,连接,证明出点的中点,进而证明出四边形为平行四边形,可得出,再利用线面平行的判定定理可证明出平面

2)选条件①,取的中点,连接,证明出平面,由直线与平面所成的角为,可求得,并证明出,然后以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法能计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值;

选条件②,取的中点,连接,证明出平面,由三棱锥的体积为计算出,可得出,并证明出,然后以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法能计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

1)延长于点,连接

因为,所以,所以

,所以,即的中点,

因为的中点,

所以,则四边形为平行四边形,所以

又因为平面平面

所以平面,即平面

2)选择条件①,解答过程如下:

的中点,连接

因为,所以,所以

所以为直角三角形,所以,且

因为平面平面,平面平面平面,所以平面

与平面所成的角,

中,

因为,所以,所以.

如图,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系

所以

所以

设平面的法向量为,则,即

,则,则

因为平面轴,所以平面的一个法向量为

所以

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值

选择条件②,解答过程如下:

的中点,连接

因为,所以,所以

所以为直角三角形,所以,且

因为平面平面,平面平面平面,所以平面

所以为三棱锥的高,

因为

所以,所以

因为为锐角,所以

因为,所以为等边三角形,所以.

如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系

所以

所以

设平面的法向量为,则,即

,则,则

因为平面轴,所以平面的一个法向量为

所以

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

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