题目内容
【题目】已知三棱柱中,,,点为的中点,.
(1)求证:平面;
(2)条件①:直线与平面所成的角为;
条件②:为锐角,三棱锥的体积为.
在以上两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题:
若平面平面,______,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)延长交于点,连接,证明出点为的中点,进而证明出四边形为平行四边形,可得出,再利用线面平行的判定定理可证明出平面;
(2)选条件①,取的中点,连接、,证明出平面,由直线与平面所成的角为,可求得,并证明出,然后以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法能计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值;
选条件②,取的中点,连接、,证明出平面,由三棱锥的体积为计算出,可得出,并证明出,然后以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法能计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
(1)延长交于点,连接,
因为,,所以,所以,
又,所以,即为的中点,
因为为的中点,且,
所以且,则四边形为平行四边形,所以,
又因为平面,平面,
所以平面,即平面;
(2)选择条件①,解答过程如下:
取的中点,连接、,
因为,,所以,所以,
所以为直角三角形,所以,且,
因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面,
为与平面所成的角,,
在中,,,
因为,,,所以,所以.
如图,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,
所以,
设平面的法向量为,则,即,
取,则,,则,
因为平面轴,所以平面的一个法向量为,
所以,
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值;
选择条件②,解答过程如下:
取的中点,连接、,
因为,,所以,所以,
所以为直角三角形,所以,且,
因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面,
所以为三棱锥的高,
因为,
所以,所以,
因为为锐角,所以,
因为,所以为等边三角形,所以.
如图,以为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,
所以,
设平面的法向量为,则,即,
取,则,,则,
因为平面轴,所以平面的一个法向量为,
所以,
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值.