Question

3．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H是边AD的中点，平面BCH与AE交于点I．

（Ⅰ）求证：IH∥BC；
（Ⅱ）求三棱锥A-HIC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明ED∥平面BCH，ED∥HI，然后利用平行公理证明IH∥BC．、
（Ⅱ）求出棱锥的底面面积以及高，即可求解体积．

解答 （Ⅰ）证明：因为D、E分别是边AC和AB的中点，
所以ED∥BC，
因为BC?平面BCH，ED?平面BCH，
所以ED∥平面BCH
因为ED?平面BCH，ED?平面AED，平面BCH∩平面AED=HI
所以ED∥HI
又因为ED∥BC，
所以IH∥BC．…（6分）
（Ⅱ）解：V_A-CIH=V_C-AIH，
${S_{△AIC}}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
高CD=2，
$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2=\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，直线与直线平面的证明，直线与平面平行的判定定理的应用．考查空间想象能力以及计算能力．