Question

11．△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．
（Ⅰ）求证：IH∥BC；
（Ⅱ）求二面角A-GI-C的余弦值；
（Ⅲ）求AG的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明ED∥BC，推出ED∥平面BCH，利用直线与平面平行的性质定理以及平行公理证明IH∥BC．
（Ⅱ）建立空间右手直角坐标系，求出平面AGI的一个法向量，平面CHI的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角A-GI-C的余弦值．
（Ⅲ）法（一）$\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{AF}=（3λ，λ，-2λ）$，通过$\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{n_2}=0$，解得$λ=\frac{2}{3}$，然后求解即可．
法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，通过△HKJ与△CKA相似，求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：因为D、E分别是边AC和AB的中点，
所以ED∥BC，
因为BC?平面BCH，ED?平面BCH，
所以ED∥平面BCH
因为ED?平面BCH，ED?平面AED，平面BCH∩平面AED=HI
所以ED∥HI
又因为ED∥BC，
所以IH∥BC．…（4分）
（Ⅱ）解：如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，D（0，0，0），E（2，0，0），A（0，0，2），F（3，1，0），C（0，2，0），H（0，0，1），$\overrightarrow{EA}=（-2，0，2）$，$\overrightarrow{EF}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{CH}=（0，-2，1）$，$\overrightarrow{HI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}=（1，0，0）$，
设平面AGI的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{n_1}=0\\ \overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n_1}=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}-{x}_{1}+{z}_{1}=0\\{x}_{1}+{y}_{1}=0\end{array}\right.$，令z₁=1，解得x₁=1，y₁=-1，则$\overrightarrow{n_1}=（1，-1，1）$
设平面CHI的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CH}•\overrightarrow{n_2}=0\\ \overrightarrow{HI}•\overrightarrow{n_2}=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}-2{y}_{1}+{z}_{2}=0\\{x}_{2}=0\end{array}\right.$，令z₂=-2，解得y₁=-1，则$\overrightarrow{n_2}=（0，-1，-2）$，$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{|{1-2}|}}{{\sqrt{3}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{15}$，
所以二面角A-GI-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$…（8分）
（Ⅲ）解：法（一）$\overrightarrow{AF}=（3，1，-2）$，设$\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{AF}=（3λ，λ，-2λ）$$\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AG}=（0，0，-1）-（3λ，λ，-2λ）=（-3λ，-λ，2λ-1）$
则$\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{n_2}=0$，解得$λ=\frac{2}{3}$，$AG=\frac{2}{3}AF=\frac{2}{3}\sqrt{{3^2}+1+{{（-2）}^2}}=\frac{{2\sqrt{14}}}{3}$…（12分）
法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，△HKJ与△CKA相似，
得$\frac{AK}{KJ}=2$，易证HI∥GK，所以$AG=\frac{2}{3}AF=\frac{{2\sqrt{14}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查空间向量求解二面角的平面角的大小，直线与平面平行的性质定理以及判定定理的应用，空间距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力．