Question

17．在等比数列{a_n}前n项和S_n=5ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（　　）

• A． （5ⁿ-1）²
• B． 5²ⁿ-1
• C． $\frac{2}{3}$（5²ⁿ⁺¹+1）
• D． $\frac{2}{3}$（5²ⁿ-1）

Answer 1

分析 列举等比数列的前n项和的各项，求出首项和公比即可求出数列的通项公式，然后得到a_n²的通项公式发现也为等比数列，根据等比数列的前n项和的公式求出即可．

解答 解：令n=1，得到a₁=S₁=5¹-1=4；
令n=2，得到a₁+a₂=S₂=5²-1=24，得到a₂=20，
则公比q=$\frac{20}{4}=5$，
则等比数列的首项为4，公比为5，
得到a_n=4×5^n-1；
则a_n²=16×5^2n-2=16×25^n-1，是首项为16，公比为25的等比数列，
所以a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{16（1-2{5}^{n}）}{1-25}$=$\frac{2}{3}$（5²ⁿ-1），
故选：D

点评 本题主要考查数列求和，根据条件求出数列的通项公式以及利用等比数列的前n项和公式是解决本题的关键．