Question

6．已知直线l：2mx-y-8m-3=0，和圆C：x²+y²-6x+12y+20=0
（1）试证：不论m为何实数，l总经过一个定点P；
（2）试证：不论m为何实数直线l与圆C总相交；
（3）求以P为中点的弦所在直线方程；
（4）m为何值时，直线l被圆截得的弦长最小．

Answer 1

分析 （1）将直线l变形后，得出直线l恒过P（4，-3）；
（2）将圆C化为标准方程，找出圆心C的坐标及半径r，利用两点间的距离公式求出点A到圆心C的距离d，根据d小于r得到A点在圆C内，进而确定出直线l与圆C总相交；
（3）求出此时l的斜率，即可求以P为中点的弦所在直线方程；
（4）l被C截得弦长最短时，P为弦的中点，直线PA与l垂直，由P和C的坐标求出直线PC的斜率，利用两直线垂直时斜率满足的关系求出直线l的斜率，根据直线l的方程即可求出m的值，再由弦心距d=|PC|及半径r，利用垂径定理及勾股定理即可求出直线l被圆C截得的最短弦长．

解答 （1）证明：将直线l变形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
令x-4=0，则y+3=0，
∴x=4，y=-3，可得出直线l恒过P（4，-3）；
（2）证明：将圆C化为标准方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圆心C为（3，-6），半径r=5，
∵点P到圆心C的距离d=$\sqrt{10}$＜5=r，
∴点P在圆内，
则l与C总相交；
（3）解：k_CP=$\frac{-3+6}{4-3}$=3，
∴此时l的斜率为-$\frac{1}{3}$，
∴以P为中点的弦所在直线方程为y+3=-$\frac{1}{3}$（x-4），即x+3y+5=0；
（4）解：l被C截得弦长最短时，P为弦的中点，
2mx-y-8m-3=0变形得：y=2mx-8m-3，即斜率为2m，
由（3）可得2m=-$\frac{1}{3}$，即m=-$\frac{1}{6}$，
此时圆心距d=|PC|=$\sqrt{10}$，又半径r=5，
则l被C截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{15}$．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：两点间的距离公式，垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，恒过定点的直线方程，圆的标准方程，以及点与圆位置关系，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．