题目内容
已知函数f(x)＝
，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝
时，求f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．
，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝
时，求f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．
（1）
（2）a＞－3
（2）a＞－3(1)当a＝时，f(x)＝x＋
＋2.
设x1＞x2≥1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)·
.
∵x1＞x2≥1，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)≥f(1)＝，即f(x)的最小值为.
(2)∵f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，
即x2＋2x＋a＞0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a＞[－(x2＋2x)]max.
∵t(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上为减函数，
∴t(x)max＝t(1)＝－3,∴a＞－3.
时，f(x)＝x＋＋2.设x1＞x2≥1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)·.∵x1＞x2≥1，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)≥f(1)＝
，即f(x)的最小值为.(2)∵f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，
即x2＋2x＋a＞0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a＞[－(x2＋2x)]max.
∵t(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上为减函数，
∴t(x)max＝t(1)＝－3,∴a＞－3.
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