题目内容
【题目】已知数列满足
,
,其中常数
.
(Ⅰ)若,求
的取值范围;
(Ⅱ)若,求证:对于任意的
,均有
;
(Ⅲ)当常数时,设
,若存在实数
使得
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)利用,得到
,然后结合条件建立不等式,通过分类讨论,求解不等式;
(Ⅱ)利用数学归纳法,证明结论成立;
(Ⅲ)利用数学归纳法,证明不等式成立,进而求出的取值范围.
解:(Ⅰ)由已知得时,
∴
∵,∴
若,则
,则
或
.
若,则
,则
或
.
(Ⅱ)证明:用数学归纳法证明
当时,
成立
假设时,
则当时
∵,∴
∴
即时命题也成立
∴对任意的均有
.
(Ⅲ)当时,用数学归纳法证明
当时,
成立
假设时,
,则当
时
∴.
即时,命题也成立
∴对有
∴
易知不存在使
恒成立.
当时,由(Ⅱ)知
若存在,则对
,
,对任意
,
恒成立
而对,则必不存在
,否则将推出
,矛盾.
∵,∴
∴,
∴
∵,∴
又,∴
,∴
故存在使得
恒成立
综上所述,
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