Question

【题目】F是抛物线的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若点M的横坐标为，直线与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当时，的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据抛物线上的点到抛物线的准线的距离为列方程求解；

（2）联立直线与抛物线的方程得到一元二次方程，利用韦达定理结合点到直线的距离公式与两点间距离公式、函数的性质求解最值.

（1）抛物线的焦点，

设，由题意可知，

则点Q到抛物线C的准线的距离为，

解得，于是抛物线C的方程为.

（2）∵，

∴的垂直平分线方程为，

∴，圆Q的半径.

由得，

设，

∵，

∴.

∴，

又∵Q到l的距离，

∴，

∴.

令，∵，∴，

∴，

令，

则，

∴当时，.