题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间为,无单调递增区间.(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据函数解析式,先求得导函数,利用
,即可分析出
的符号,即可判断函数
的单调区间;
(Ⅱ)方法一:根据不等式,构造函数,求得导函数
,再构造函数
,并求得
,由
的符号可判断
的单调性、零点与最小值,进而得
的符号,即可判断
的单调性,从而求得
的最小值,即可证明不等式成立;方法二:构造函数
,求得导函数
可得
的单调性与最值,从而可证明
,结合(Ⅰ)可得
,结合两式即可证明不等式成立.
(Ⅰ)函数,则定义域为
,
,
,
,
,
,
(当且仅当
时取等号),
的单调递减区间为
,无单调递增区间.
(Ⅱ)证法一:令函数,
则
,
显然.
令函数,
则,
由(Ⅰ)知,
,
,
所以,
在
上是增函数,
且,
当
时,
即
,所以
单调递减,
当时,
即
,所以
单调递增.
的最小值为
,
,
.
证法二:令函数,
定义域为,
,
函数
在定义域上是增函数,
,
,①
又,②
①+②得,
即当时,
.
另外,当时,
由(Ⅰ)可知函数在
上是减函数,
,
.
综上,对.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】年上半年,随着新冠肺炎疫情在全球蔓延,全球超过
个国家或地区宣布进人紧急状态,部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”,随着国外部分活动进入停摆,全球经济缺乏活力,一些企业开始倒闭,下表为
年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表:
企业成立年份 | 2019 | 2018 | 2017 | 2016 | 2015 |
企业成立年限 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
倒闭企业数量(万家) | 5.28 | 4.72 | 3.58 | 2.70 | 2.15 |
倒闭企业所占比例 | 21.4% | 19.1% | 14.5% | 10.9% | 8.7% |
(1)由所给数据可用线性回归模型拟合与
的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立关于
的回归方程,预测
年成立的企业中倒闭企业所占比例.
参考数据:,
,
,
,
相关系数,样本
的最小二乘估计公式为
,
.