Question

13．已知圆x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M（4，-8），
（Ⅰ）过M作圆的割线交圆与A、B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程．
（Ⅱ）过M作圆的切线，切点为C、D，求切线的长及CD所在的直线的方程．

Answer 1

分析 （1）先将圆的方程化成标准式，求出圆心O和半径，再根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线AB的距离，则就可以利用点到直线的距离公式求出直线AB的斜率，问题获解；
（2）利用切线的性质可知，切线长、半径、M点到圆心距离满足勾股定理，则切线长可求；求出以PM为直径的圆，与已知圆的方程两式相减即可得到CD所在直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）圆的方程可化为（x-2）²+（y+1）²=8，
圆心为P（2，-1），半径r=2$\sqrt{2}$
①若割线斜率存在，设y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0
设AB的中点为N，则|PN|=$\frac{|2k+7|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
由|PN|²+（$\frac{|AB|}{2}$）²=r²，得k=-$\frac{45}{28}$，故AB的方程为45x+28y+44=0
②若割线斜率不存在，则AB的方程为x=4，
代入圆的方程得y²+2y-3=0，y=1或-3，符合题意．
综上，直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4   …（6分）
（Ⅱ）切线长为$\sqrt{|PM{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{4+49-8}$=3$\sqrt{5}$
以PM为直径的圆的方程为（x-2）（x-4）+（y+1）（y+8），即x²+y²-6x+9y+16=0
又已知圆的方程为x²+y²-4x+2y-3=0，两式相减得2x-7y-19=0，
所以直线CD的方程为2x-7y-19=0．           …（12分）

点评 有关圆的弦长问题一般会用到垂径定理，侧重考查圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．