Question

15．圆x²+y²=16的切线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，则|AB|最小值为8．

Answer 1

分析 设直线的方程为bx+ay-ab=0，由直线和圆相切可得a²b²=16（a²+b²），由基本不等式可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值，即得答案．

解答 解：由题意设直线的方程为：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，即bx+ay-ab=0，
∵圆心（0，0）到的距离为半径4，
∴$\frac{|ab|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=4，平方整理可得a²b²=16（a²+b²），
由基本不等式可得16（a²+b²）=a²b²≤（$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$）²，
∴解不等式可得|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥8，
当且仅当a=b=4$\sqrt{2}$时等号成立，
故答案为：8．

点评 本题考查圆的切线，涉及点到直线的距离公式和基本不等式求最值，属中档题．