题目内容
3．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$的图象关于原点对称．（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明．
分析 （1）根据奇函数的性质f（0）=0，可求出a的值，
（2）根据函数的单调性的定义证明即可．
解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，由f（0）=0可得a=1．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1在R上单调递减，
证明：设x2＞x1＞0，由于f（x2）-f（x1）=$\frac{{2}^{{x}_{2}+1}-{2}^{{x}_{1}+1}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x2＞x1，
∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
∴函数f（x）（0，+∞）上单调性递减，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）在R上为减函数．
点评 本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．
练习册系列答案
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14．下列函数中表示同一函数的是（ ）
| A． | y=$\sqrt{{x}^{4}}$与y=（$\sqrt{x}$）4 | B． | y=$\root{3}{{x}^{3}}$与y=$\frac{{x}^{2}}{x}$ | ||
| C． | y=$\sqrt{{x}^{2}+x}$ 与y=$\sqrt{x}$•$\sqrt{x+1}$ | D． | y=$\frac{1}{|x|}$与y=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}}}$ |
8．正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2=-3，S2m-1=57，则m=（ ）
| A． | 38 | B． | 20 | C． | 10 | D． | 9 |
已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lgx|，0＜x≤10\\-\frac{1}{2}x+6，x＞10\end{array}\right.$．