Question

3．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$的图象关于原点对称．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质f（0）=0，可求出a的值，
（2）根据函数的单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，由f（0）=0可得a=1．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1在R上单调递减，
证明：设x₂＞x₁＞0，由于f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{2}^{{x}_{2}+1}-{2}^{{x}_{1}+1}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₂＞x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函数f（x）（0，+∞）上单调性递减，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）在R上为减函数．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．