Question

4．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为线段BD的中点．设点P在线段B₁C₁上，直线OP与平面A₁BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1]$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{3}，1]$
• C． $[\frac{{\sqrt{2}}}{3}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$

Answer 1

分析 设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sinα的取值范围．

解答 解：设正方体的棱长为2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（2，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），O（1，1，0），ymc P（a，2，2），0≤a≤2，
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{OP}$=（a-1，1，2），
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴sinα=|cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{a-1-1-2}{\sqrt{（a-1）^{2}+5}•\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}•\frac{|a-4|}{\sqrt{（a-1）^{2}+5}}$，
∵0≤a≤2，sinα在a∈[0，2]是减函数，
∴a=2时，sinα取最小值（sinα）_min=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{|2-4|}{\sqrt{（2-1）^{2}+5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
a=0时，sinα取最大值（sinα）_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{|0-4|}{\sqrt{（0-1）^{2}+5}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴sinα的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}$]．
故选：C．

点评 本题考查角的正弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．