题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若,令
,若
,
是
的两个极值点,且
,求正实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)t .
【解析】
(I)求出导函数,按
的正负分类,讨论
的符号得单调区间;
(II)求出,当
时,
,
单调递减,无极值点,当
时,可由求根公式求出
的两根
,可确定
为极小值点,
为极大值点.同时确定出
的范围是
,计算
,令
,
,仍然用导数来研究
的单调性,得出
时
的范围,也即能得出
的范围.
(Ⅰ)由,
,则
,
当时,则
,故
在
上单调递减;
当时,令
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增.
综上所述:当时,
在
上单调递减;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ),
故,当
时,
恒成立,故
在
上单调递减,不满足
有两个极值点,故
.
令,得
,
又有两个极值点;故
有两个根.
故且
或
;
且为极小值点,
为极大值点.
故
令,由
或
得
令,
当
时,
,则
在
上单调递增,故
,则
时
成立;
当时,
,则
在
上单调递增,故
,则
时
;
综上所述: .
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