题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)用表示
中的最大值,若函数
只有一个零点,求
的取值范围.
【答案】(1) 在
上单调递减,在
上单调递增,.
(2)
【解析】
(1)先求函数的导函数,再讨论
时,
时,函数
的单调性即可;
(2)分别讨论函数在当
,当
时,当
时,函数
零点个数,然后结合函数在
的零点个数即可得解.
解:(1)函数的定义域为
,且
.
当时,
对
恒成立,所以
在
上单调递增.
当时,令
,得
,
当时,
;当
时,
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增,.
(2)①当时,
,从而
,所以
在
上无零点,
②当时,
,
若,所以
是
的零点;
若,所以
不是
的零点.
③当时,
,所以
在
上的零点个数只需要考虑
在
上的零点个数.
在
上的零点个数
在
上实根的个数
在
上实根的个数.
令函数,则
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增;又
,
,
,
当或
时,
在
上无零点;当
或
时,
在
上有唯一零点,
时,
在
上有两个零点,
综上可得:当时,
在
上有无零点, 当
时,
在
上有1个零点, 当
时,
在
上有2个零点, 当
时,
在
上有1个零点,
则在
上有唯一零点,
的取值范围为
.
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小组 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
赞成人数 | 4 | 5 | 6 | 6 | 5 | 6 | 4 | 3 |
总人数 | 7 | 7 | 8 | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 |
(1)若从第1小组和第8小组的同学中各随机选取2人进行调查,求所选取的4人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率;
(2)若从第5小组和第7小组的同学中各随机选取2人进行调查,记选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望.