题目内容
16.在数列{an}中,Sn=4an-1+1(n≥2)且a1=1.(1)若bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若cn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$,求证:数列{cn}是等差数列.
分析 (1)若bn=an+1-2an,利用数列的递推关系,结合等比数列的定义,利用构造法即可证明数列{bn}是等比数列;
(2)若cn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$,利用作差法结合等差数列的定义即可证明数列{cn}是等差数列.
解答 证明:(1)∵Sn=4an-1+1(n≥2)且a1=1.
∴Sn+1=4an+1.两式作差得:
Sn+1-Sn=4an+1-4an-1-1=4an-4an-1.
故an+1=4an-4an-1.
即an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1),
即bn=2bn-1,n≥2,
则数列{bn}是公比q=2的等比数列;
(2)由(1)知数列{an+1-2an}是公比q=2的等比数列;
∵Sn=4an-1+1(n≥2)且a1=1.
∴S2=4a1+1=4+1=5,
即1+a2=5,解得a2=5-1=4.
则a2-2a1=4-2=2,
即数列{an+1-2an}的首项为2,则an+1-2an=2•2n-1=2n.
若cn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$,
则当n≥2时,cn-cn-1=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$为常数,
即数列{cn}是公差d=$\frac{1}{2}$的等差数列.
点评 本题主要考查等差数列和等比数列的判断,利用数列的递推关系,进行变形是解决本题的关键.考查学生的推理能力.
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