Question

5．已知x，y，z不同时为0，求$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 把要求的式子化为$\frac{xy+yz}{（{x}^{2}+\frac{1}{2}{y}^{2}）+（\frac{1}{2}{y}^{2}+{z}^{2}）}$，利用基本不等式求得它的最大值．

解答 解：要求最大值，可设x，y，z＞0．
∵x²+$\frac{1}{2}$y²≥2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$xy，
$\frac{1}{2}$y²+z²≥2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$yz，
∴$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\frac{xy+yz}{（{x}^{2}+\frac{1}{2}{y}^{2}）+（\frac{1}{2}{y}^{2}+{z}^{2}）}$≤$\frac{xy+yz}{\sqrt{2}xy+\sqrt{2}yz}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当x=z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y时，等号成立，
故所求最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．