题目内容
【题目】已知数列{an}满足an+2= ,n∈N*,且a1=1,a2=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(﹣1)nanan+1 , n∈N*,求数列{bn}的前n项和Sn .
【答案】
(1)解:an+2= ,n∈N*,且a1=1,a2=2.
当n为奇数时,an+2=an+2,可得奇数项成首项为1,公差为2的等差数列,且为an=n;
当n为偶数时,an+2=2an,可得偶数项成首项为2,公比为2的等差数列,且为an=2 ;
即有an=
(2)解:令bn=(﹣1)nanan+1,n∈N*,
当n为偶数时,前n项和Sn=﹣a1a2+a2a3﹣a3a4+a4a5﹣a5a6+a6a7﹣…﹣an﹣1an+anan+1
=﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣5×8+8×7﹣…﹣(n﹣1)2 +(n+1)2
=2×2+4×2+8×2+…+2 ×2=2(2+4+8+…+2 )=2 =4(2 ﹣1);
当n为奇数时,前n项和Sn=Sn﹣1﹣n2 =4(2 ﹣1)﹣n2 =(2﹣n)2 ﹣4.
则数列{bn}的前n项和Sn=
【解析】(1)讨论当n为奇数时,由等差数列的通项公式可得;当n为偶数时,由等比数列的通项公式可得;(2)讨论n为偶数时,两两结合,再由等比数列的求和公式,可得所求和;当n为奇数时,前n项和Sn=Sn﹣1﹣n2 ,化简即可得到所求和.
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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