题目内容
【题目】已知函数f(x)=x2+ +alnx(x>0,a为常数).
(1)讨论函数g(x)=f(x)﹣x2的单调性;
(2)对任意两个不相等的正数x1、x2 , 求证:当a≤0时, .
【答案】
(1)解: ,∴ .
①当a≤0时,g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)为减函数;
②当a>0时, ,
当 时,g'(x)<0,g(x)为减函数;
当 时,g'(x)>0,g(x)为增函数.
∴当a>0时,g(x)在 上为减函数,g(x)在 上为增函数
(2)解:证明:以x1为自变量,构造 .
∴ ,又 ,
= ,
∵ ,∴ .
故当x∈(0,x2)时,t'(x)<0,t(x)为减函数;
当x∈(x2,+∞)时,t'(x)>0,t(x)为增函数.
故对一切x∈(0,+∞),t(x)≥t(x2)=0.当且仅当x=x2时取等号.
题中x1≠x2,故t(x1)>0恒成立.得证.
【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)构造 ,求出t(x)的导数,解关于导函数的不等式,得到函数的单调区间,根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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