题目内容

【题目】已知函数f(x)=2cos22x﹣2,给出下列命题: ①β∈R,f(x+β)为奇函数;
α∈(0, ),f(x)=f(x+2α)对x∈R恒成立;
x1 , x2∈R,若|f(x1)﹣f(x2)|=2,则|x1﹣x2|的最小值为
x1 , x2∈R,若f(x1)=f(x2)=0,则x1﹣x2=kπ(k∈Z).其中的真命题有(
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④

【答案】C
【解析】解:由题意,f(x)=2cos22x﹣2=cos4x﹣1; 对于①,∵f(x)=cos4x﹣1的图象如图所示;
函数f(x+β)的图象是f(x)的图象向左或向右平移|β|个单位,
它不会是奇函数的,故①错误;
对于②,f(x)=f(x+2α),∴cos4x﹣1=cos(4x+8α)﹣1,
∴8α=2kπ,∴α= ,k∈Z;
又α∈(0, ),∴取α= 时,
∴f(x)=f(x+2α)对x∈R恒成立,②正确;
对于③,|f(x1)﹣f(x2)|=|cos4x1﹣cos4x2|=2时,
|x1﹣x2|的最小值为 = = ,∴③正确;
对于④,当f(x1)=f(x2)=0时,
x1﹣x2=kT=k = (k∈Z),∴④错误;
综上,真命题是②③.
故选:C.

化简函数f(x),画出f(x)的图象,根据图象平移判断函数f(x+β)不是奇函数,判断①错误;
根据f(x)=f(x+2α)求出方程在α∈(0, )的解,判断②正确;
由|f(x1)﹣f(x2)|=2时,|x1﹣x2|的最小值为 = ,判断③正确;
当f(x1)=f(x2)=0时,x1﹣x2=kT= ,判断④错误.

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