Question

【题目】已知双曲线的焦点是椭圆的顶点， 为椭圆的左焦点且椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，连结并延长交椭圆于点，当的面积取得最大值时，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】试题分析：（1）由双曲线的焦点是椭圆： （）的顶点可得再由椭圆经过点可得 ，从而可得求椭圆的方程；（2）设直线： ，联立： ，得，根据韦达定理及三角形面积公式将当的面积用 表示，利用基本不等式等号成立的条件，可得当的面积取得最大值时，求的面积.

试题解析：（1）由已知得

所以的方程为．

（2）由已知结合（1）得， ， ，

所以设直线： ，联立： ，得，

得，

（），

当且仅当，即时， 的面积取得最大值，

所以，此时，

所以直线： ，联立，解得，

所以，点到直线： 的距离为，

所以．

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.