题目内容
【题目】已知椭圆 的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC、BD过原点O,若 . (i) 求
的最值;
(ii) 求四边形ABCD的面积.
【答案】
(1)解:由题意 ,
,又a2=b2+c2,
解得:a2=8,b2=4,
∴椭圆的标准方程为
(2)解:设直线AB的方程为y=kx+m,再设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立 ,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0.
△=(4m)2﹣4(1+2k2)(2m2﹣8)=8(8k2﹣m2+4)>0…①
,
∵ ,∴
,
∴ ,
= ,
∴ ,得4k2+2=m2.
(i) =
.
∴﹣2=2﹣4 .
当k=0(此时m2=2满足①式),即直线AB平行于x轴时, 的
最小值为﹣2.
又直线AB的斜率不存在时, ,
∴ 的最大值为2;
(ii)设原点到直线AB的距离为d,则
=
= .
∴
【解析】(1)与已知列关于a,b,c的方程组,求解方程组可得a,b的值,则椭圆的标准方程可求;(2)设直线AB的方程为y=kx+m,联立直线方程和椭圆方程,由 可得k与m的关系.(i)由数量积的坐标运算把
化为含有k的代数式求得最值;(ii)首先求出△AOB的面积,乘以4即可求得四边形ABCD的面积.

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