题目内容
【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,∠ACB=45°,BC=2 ,AB=2.
(1)求AC的长;
(2)若PC= ,点M在侧棱PB上,且
=
,当λ为何值时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
【答案】
(1)解:在△ABC中,
由余弦定理得AB2=BC2+AC2﹣2BC×AC×cos∠ACB,
得4=8+AC2+﹣4AC,解得AC=2
(2)解:∵PC⊥平面ABC,PA⊥AB,∴AB⊥AC,
以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,2, ),
∵点M在侧棱PB上,且 =
,
∴M( ,
,
),
设平面ACM的一个法向量为 =(x,y,z),
则 ,取z=1,得
=(﹣
,0,1),
平面ABC的一个法向量 =(0,0,1),
∵二面角B﹣AC﹣M的大小为30°,
∴cos30°= =
=
,
解得λ=1或λ=﹣1(舍),
∴当λ=1时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
【解析】(1)由已知条件利用余弦定理,利能求出AC.(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,求出平面ACM的一个法向量和平面ABC的一个法向量,利用向量法能求出当λ=1时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
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