Question

8．过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）²+（y-5）²=2的两条切线l₁，l₂，A，B为切点，当直线l₁，l₂关于直线y=-x对称时，∠APB=（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，求出∠APB的值．

解答 解：显然圆心C（-1，5）不在直线y=-x上．
由对称性可知，只有直线y=-x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=-x，
从这点做切线才能关于直线y=-x对称．
所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y-5=x+1即y=6+x，
与y=-x联立，可求出该点坐标为（-3，3），
所以该点到圆心的距离为$\sqrt{（5-3）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，
又知圆的半径为$\sqrt{2}$．
所以两切线夹角的一半的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
所以夹角∠APB=60°
故选C．

点评 本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型．