Question

16．已知圆O：x²+y²=16，点P（1，0），过P点交圆O于A，B两点．
（1）若以AB为直径的圆经过点C（4，2），求直线l的方程；
（2）若2|AP|=3|BP|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线AB方程为x=my+1，显然m≠0．然后代入圆的方程，利用PA⊥PB，结合数量积为零即可解决问题；
（2）可将2|AP|=3|BP|，转化为点A，B的纵坐标之比，然后利用方程的思想不难解决问题．

解答 解：（1）设直线AB方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=16}\\{x=my+1}\end{array}\right.$消去x得（m²+1）y²+2my-15=0．
所以${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2m}{{m}^{2}+1}，{y}_{1}•{y}_{2}=-\frac{15}{{m}^{2}+1}$．所以x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=$\frac{2}{{m}^{2}+1}$，同理${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-16{m}^{2}+1}{{m}^{2}+1}$．
由以AB为直径的圆经过点C（4，2）得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，即（x₁-4，y₁-2）•（x₂-4，y₂-2）=0
所以x₁x₂-4（x₁+x₂）+16+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0．将已知代入化简得
$\frac{2{m}^{2}+2m-1}{{m}^{2}+1}=0$，解得：$m=-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以直线AB的方程为：x-（$-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}$）y-1=0．
（2）由（1）知：${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2m}{{m}^{2}+1}，{y}_{1}•{y}_{2}=-\frac{15}{{m}^{2}+1}$＜0．
又由2|AP|=3|BP|得$|\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}|=\frac{3}{2}$，
则由$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}=\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}+\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}+2=\frac{25}{6}$或$-\frac{1}{6}$（正值舍去）．
即$\frac{（\frac{-2m}{{m}^{2}+1}）^{2}}{-\frac{15}{{m}^{2}+1}}=-\frac{1}{6}$，化简得${m}^{2}=\frac{5}{3}$，
故$m=±\frac{\sqrt{15}}{3}$即为所求．
显然斜率不错存在时，直线不满足题意．
故所求直线方程为x$±\frac{\sqrt{15}}{3}y-1=0$．

点评 本题考查了直线方程与圆的方程联立，通过方程思想研究直线与圆的位置关系的问题，属于基础题型．