Question

7．已知f（x）=x²-a|x-1|．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间（不要求证明）；
（2）设f（x）在区间[0，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入，将函数解析式化为分段函数的形式，结合二次函数的图象和性质，可得函数的单调区间；
（2）结合二次函数的图象和性质，对a进行分类讨论，可得f（x）在区间[0，2]上的最小值g（a）的表达式．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+x-1，x＜1\\{x}^{2}-x+1，x≥1\end{array}\right.$．
函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$），
单调递增区间为（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）f（x）=x²-a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+ax-a，x＜1\\{x}^{2}-ax+a，x≥1\end{array}\right.$，
若-$\frac{a}{2}$≤-2，则$\frac{a}{2}$≥2，a≥4，此时函数f（x）在区间[0，1]上为增函数，在区间[1，2]上为减函数，
由f（0）=-a，f（2）=4-a，故g（a）=f（0）=-a，
若-2＜-$\frac{a}{2}$＜-1，则1＜$\frac{a}{2}$＜2，2＜a＜4，此时函数f（x）在区间[0，1]，[$\frac{a}{2}$，2]上为增函数，在区间[1，$\frac{a}{2}$]上为减函数，
由f（0）=-a，f（$\frac{a}{2}$）=a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，故g（a）=f（0）=-a，
若-1≤-$\frac{a}{2}$≤0，则0≤$\frac{a}{2}$≤1，0≤a≤2，此时函数f（x）在区间[0，2]上为增函数，
故g（a）=f（0）=-a，
若0＜-$\frac{a}{2}$＜1，则-1＜$\frac{a}{2}$＜0，-2＜a＜0，此时函数f（x）在区间[-$\frac{a}{2}$，2]上为增函数，在区间[0，-$\frac{a}{2}$]上为减函数，
故g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=-a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
若1≤-$\frac{a}{2}$≤2，则-2≤$\frac{a}{2}$≤-1，-4≤a≤-2，此时函数f（x）在区间[0，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，
故g（a）=f（1）=1，
若-$\frac{a}{2}$＞2，则$\frac{a}{2}$＜-2，a＜-4，此时函数f（x）在区间[0，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，
故g（a）=f（1）=1，
综上所述：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}1，a≤-2\\-\frac{1}{4}{a}^{2}-a，-2＜a＜0\\-a，a≥0\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．