Question

17．在△ABC中，求证，$si{n}^{2}\frac{A}{2}$+$si{n}^{2}\frac{B}{2}$+$si{n}^{2}\frac{C}{2}$=1-2sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$．

Answer 1

分析 在△ABC中cosA+cosB+cosC=1+4sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$，由此能证明$si{n}^{2}\frac{A}{2}$+$si{n}^{2}\frac{B}{2}$+$si{n}^{2}\frac{C}{2}$=1-2sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$．

解答 解：在△ABC中，A，B，C∈（0，π），
∴cosA+cosB+cosC=（cosA+cosB）+cos（π-A-B）
=2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$-cos（A+B）
=2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$+1-2（cos$\frac{A+B}{2}$）²
=1+2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$-2（cos$\frac{A+B}{2}$）²
=1+2sin$\frac{π-A-B}{2}$（2sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$）
=1+2sin$\frac{C}{2}$（2sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$）
=1+4sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$，
∴$si{n}^{2}\frac{A}{2}$+$si{n}^{2}\frac{B}{2}$+$si{n}^{2}\frac{C}{2}$=$\frac{1-cosA}{2}+\frac{1-cosB}{2}+\frac{1-cosC}{2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{cosA+cosB+cosC}{2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}{2}$
=1-2sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$．
∴$si{n}^{2}\frac{A}{2}$+$si{n}^{2}\frac{B}{2}$+$si{n}^{2}\frac{C}{2}$=1-2sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意降阶公式和诱导公式的合理运用．