Question

13．关于函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）（x∈R），有下列命题：
①y=f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称     
②y=f（x）的图象关于点（$\frac{π}{6}$，0）对称
③若f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必为π的整数倍
④y=f（x）在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）上单调递增
⑤y=f（x）的图象可由y=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到
⑥y=f（x）的表达式可改写成y=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
其中正确命题的序号有①④．

Answer 1

分析 由三角函数的图象和性质，逐个选项判断可得．

解答 解：由2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，当k=-1时，可得函数的一条对称轴为x=-$\frac{π}{6}$，故选项①正确；
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，令$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{6}$可解得k=$\frac{1}{6}$∉Z，即y=f（x）的图象不关于点（$\frac{π}{6}$，0）对称，故选项②错误；
∵函数的周期为$\frac{2π}{2}$=π，若f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必为$\frac{π}{2}$的整数倍，故选项③错误；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，故函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]?（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$），故y=f（x）在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）上单调递增，故选项④正确；
函数y=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到y=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，而不是f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象，故选项⑤错误；
由诱导公式可得y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）=2cos[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{6}$=2cos[（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{2}$]=2cos（2x-$\frac{2π}{3}$）≠2cos（2x+$\frac{π}{3}$），故选项⑥错误．
故答案为：①④

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象的对称性和周期性以及诱导公式和函数图象变换，属中档题．