Question

8．已知${∫}_{0}^{2}（m{e}^{mx}+sinx）dx={e}^{4}-cos2$，则${∫}_{-\frac{π}{m}}^{\frac{π}{m}}（cosx+\frac{3}{2-x}）dx$=2+3ln$\frac{4+π}{4-π}$．

Answer 1

分析 根据定积分的计算法则计算即可．

解答 解：${∫}_{0}^{2}$（me^mx-cosx）dx=（e^mx-cosx）|${\;}_{0}^{2}$=（e^2m-cos2）-（1-cos0）=e^2m-cos2=e⁴-cos2，
解的m=2，
则${∫}_{-\frac{π}{m}}^{\frac{π}{m}}$（cosx+$\frac{3}{2-x}$）dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（cosx+$\frac{3}{2-x}$）dx=[（sinx-3ln（2-x）]|${\;}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=sin$\frac{π}{2}$-3ln（2-$\frac{π}{2}$）-sin（-$\frac{π}{2}$）+3lin（2+$\frac{π}{2}$）=2+3ln$\frac{4+π}{4-π}$，
故答案为：2+3ln$\frac{4+π}{4-π}$，

点评 本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．