题目内容
3.已知函数f(x)=log2(4x+1)+kx是偶函数.(1)求实数k的值;
(2)设$g(x)={log_2}(a•{2^x}-\frac{4}{3}a)(a∈R)$,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
分析 (1)根据偶函数的定义求出k的值即可;(2)通过换元讨论a的范围,结合方程根的情况求出a的范围即可.
解答 解:(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).
∴${log_2}({4^{-x}}+1)-kx={log_2}({4^x}+1)+kx$,∴2x+2kx=0.
由于此式对于一切x∈R恒成立,∴k=-1…4
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,等价于方程f(x)=g(x)有唯一的实数解,
等价于方程${4^x}+1=(a•{2^x}-\frac{4}{3}a)•{2^x}$有唯一实数解,且$a•{2^x}-\frac{4}{3}a>0$.
令2x=t,则此问题等价于方程$(a-1)•{t^2}-\frac{4}{3}at-1=0$只有一个正实根且$a•{2^x}-\frac{4}{3}a>0$.
从而有:
①a-1=0即a=1,则$t=-\frac{3}{4}$,不合题意舍去.
②a-1≠0即a≠1.
(Ⅰ)若$△=\frac{16}{9}{a^2}+4(a-1)=0$,即$a=\frac{3}{4}$或a=-3.当$a=\frac{3}{4}$时,代入方程得t=-2不合题意,
当a=-3时,得$t=\frac{1}{2}$符合题意.
(Ⅱ)方程有一个正根和一个负根,即$\frac{-1}{a-1}<0$,即a>1符合题意,综上所述,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).…10
点评 本题考查了函数的奇偶性问题,考查转化思想,方程思想,分类讨论,是一道中档题.
练习册系列答案
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