Question

18．数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²，n∈N^*．
（1）求证：a_n＜1；
（2）求证：数列{a_n}递增；
（3）求证：$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）}$+…+$\frac{1}{（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n}）}$＜3．

Answer 1

分析 （1）由题意得a_n+1=$\frac{-1+\sqrt{4{a}_{n}^{2}+5}}{2}$，令f（x）=$\frac{-1+\sqrt{4{x}^{2}+5}}{2}$，故a_n+1=f（a_n），从而利用数学归纳法证明；
（2）由（1）知a_n+1=f（a_n），且f（x）=$\frac{-1+\sqrt{4{x}^{2}+5}}{2}$在（0，+∞）上单调递增，从而利用数学归纳法证明；
（3）由题意可判断1+a_k＞$\frac{3}{2}$，（k=2，3，…，n），从而可得（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）＞$\frac{{3}^{n-1}}{{2}^{n-1}}$，从而求等比数列前n项和即可．

解答 证明：（1）∵a_n+1²+a_n+1-1=a_n²，
∴a_n+1=$\frac{-1+\sqrt{4{a}_{n}^{2}+5}}{2}$，
令f（x）=$\frac{-1+\sqrt{4{x}^{2}+5}}{2}$，故a_n+1=f（a_n），
易知f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=1；
下面利用数学归纳法证明：
①∵a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²，
∴a₁=0，a₂=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
②假设当n=k时，a_k＜1，
当n=k+1时，a_n+1=f（a_n）＜f（1）=1，
故当n=k+1时结论也成立，
故a_n＜1；
（2）由（1）知，a_n+1=f（a_n），
且f（x）=$\frac{-1+\sqrt{4{x}^{2}+5}}{2}$在（0，+∞）上单调递增，
易知a₁＜a₂＜1，
假设a_k＜a_k+1＜1，
则f（a_k）＜f（a_k+1）＜f（1）=1，
即a_k+1＜a_k+2＜1，
故数列{a_n}递增；
（3）∵a₁=0，a₂=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴1+a₂＞$\frac{3}{2}$，
又∵a_k-1＜a_k＜1，
∴1+a_k＞$\frac{3}{2}$，（k=2，3，…，n），
∴（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）＞$\frac{{3}^{n-1}}{{2}^{n-1}}$，
故$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）}$+…+$\frac{1}{（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n}）}$＜1+$\frac{2}{3}$+$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}$=3（1-$（\frac{2}{3}）^{n}$）＜3．

点评 本题考查了数列的应用及数学归纳法的应用，同时考查了放缩法的应用．