Question

2．浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯”游戏大赛．每5人组成一队，编号为1，2，3，4，5，在其中的投掷飞镖比赛中，要求随机抽取3名队员参加，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面为圆形，ABCD为正方形）．每队至少有2人“成功”则可获得奖品（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．
（Ⅰ）某队中有3男2女，求事件A：“参加投掷飞镖比赛的3人中有男有女”的概率；
（Ⅱ）求某队可获得奖品的概率．

Answer 1

分析 （I）假设某队中1，2，3号为男性，4，5号为女性，在从5人中列出抽取3人的所有可能情况，其中事件$\bar A$包括（1，2，3）一种情况，然后求解参加投掷飞镖比赛的3人中有男有女”的概率．
（II）设事件A_i表示第i个人成功，求出$P（{A_i}）=\frac{{\frac{1}{2}π{{（OM）}^2}}}{{π{{（OD）}^2}}}=\frac{1}{4}$，（i=1，2，3），设事件B表示某队可获得奖品，即至少有2人“成功”求出P（B），即可得到结果．

解答 解：（I）假设某队中1，2，3号为男性，4，5号为女性，在从5人中
抽取3人的所有可能情况有（1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4）
（1，3，5）（1，4，5）（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5）共10个基本事件
其中事件$\bar A$包括（1，2，3）一种情况，

∴$P（A）=1=P（\bar A）=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
答：“参加投掷飞镖比赛的3人中有男有女”的概率为$\frac{9}{10}$…（6分）
（II）由图可知$OD=\sqrt{2}OM$，
设事件A_i表示第i个人成功，则$P（{A_i}）=\frac{{\frac{1}{2}π{{（OM）}^2}}}{{π{{（OD）}^2}}}=\frac{1}{4}$，（i=1，2，3）
设事件B表示某队可获得奖品，即至少有2人“成功”
则$P（B）=P（{A_1}∩{A_2}∩{A_3}）+P（\overline{A_1}∩{A_2}∩{A_3}）+P（{A_1}∩\overline{A_2}∩{A_3}）+P（{A_1}∩{A_2}∩\overline{A_3}）$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{5}{32}$，
答：某队可获得奖品的概率为$\frac{5}{32}$．

点评 本题考查古典概型概率的求法，对立事件的概率的求法，考查计算能力．