题目内容

9.已知f(x)是定义在R上的单调函数,f(1)=2且对于任意x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),
(1)求f(0)、f(3)的值;
(2)若f(4x-a)+f(6+2x+1)>6对任意x恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (1)令x=y=0,可得f(0)=0;令x=y=1,再令x=1,y=2,即可得到f(3)=6;
(2)由(1)的结论可得f(x)为R上的递增函数,令y=-x,可得f(-x)=-f(x),由题意可得4x-a>-3-2x+1,即a-3<4x+2x+1,求得右边函数的值域,即可得到a的范围.

解答 解:(1)令x=y=0,则f(0)=2f(0),解得f(0)=0;
令x=y=1,则f(2)=2f(1)=4;
再令x=1,y=2,则f(3)=f(1)+f(2)=2+4=6;
(2)由f(x)是定义在R上的单调函数,且f(0)<f(1),f(2)<f(3),
则f(x)在R上为递增函数,
由y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x)=0,
即为f(-x)=-f(x),
f(4x-a)+f(6+2x+1)>6对任意x恒成立,
即有f(4x-a)>6-f(6+2x+1)=f(3)+f(-6-2x+1)=f(-3-2x+1),
即为4x-a>-3-2x+1,即a-3<4x+2x+1
由4x+2x+1=(2x+1)2-1>0,
可得a-3≤0,解得a≤3.
故实数a的取值范围是(-∞,3].

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和运用:解不等式,同时考查赋值法的运用,考查运算能力,属于中档题.

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