题目内容
3.已知向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2,|$\overrightarrow{b}$|=1,且|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$.(1)求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$及$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的射影;
(2)求2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值.
分析 (1)把|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$两边平方代入已知数据可求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$,进而代入可得射影|$\overrightarrow{b}$|cos<$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$>=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$的值;
(2)由题意可得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|和(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$),由夹角公式可得.
解答 解:(1)∵|$\overrightarrow{a}$|=2,|$\overrightarrow{b}$|=1,且|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$,
∴($\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$)2=7,∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$=7,
代入数据可得4-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+4=7,∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{4}$,
∴$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的射影|$\overrightarrow{b}$|cos<$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$>=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{1}{8}$;
(2)由题意可得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{4×4+4×\frac{1}{4}+1}$=3$\sqrt{2}$,
(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$)=2${\overrightarrow{a}}^{2}$-3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=8-$\frac{3}{4}$-2=$\frac{21}{4}$,
∴cosθ=$\frac{(\overrightarrow{2a}+\overrightarrow{b})•(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{21}{4×3\sqrt{2}×\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$
点评 本题考查数量积与向量的夹角,涉及模长公式和夹角公式以及射影,属中档题.
A. | (4,6) | B. | (2,3) | C. | (1,4) | D. | (0,1) |
①若l⊥α,α⊥β,则l?β ②若l∥α,α∥β,则l?β
③若l⊥α,α∥β,则l⊥β ④若l∥α,α⊥β,则l⊥β
A. | ①③ | B. | ②③④ | C. | ①②④ | D. | ①④ |
A. | f(x)=2ex-3 | B. | f(x)=$\frac{2}{{e}^{x}}$-3 | C. | f(x)=2ex+3 | D. | f(x)=-$\frac{2}{{e}^{x}}$+3 |