题目内容

8.已知f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{4}x|\\ 0<x≤4}\\{-\frac{1}{2}x+3\\ x>4}\end{array}\right.$,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(  )
A.(4,6)B.(2,3)C.(1,4)D.(0,1)

分析 根据f(a)=f(b)=f(c),不妨a<b<c,然后画出函数f(x)分段函数中各部分的图象,再结合图象即可求出实数abc的范围.

解答 解:∵f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{4}x|\\;0<x≤4}\\{-\frac{1}{2}x+3\\;x>4}\end{array}\right.$的图象如图,

则a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),
不妨设a<b<c,
则-log4a=log4b=-$\frac{1}{2}$c+3∈(0,1)
∴ab=1,0<-$\frac{1}{2}$c+3<1,即c∈(4,6)
则abc=c∈(4,6).
故选:A.

点评 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.利用函数的图象交点研究方程的根的问题,是解答本题的关键.

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