题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若是曲线
上的两点,
.问: 是否存在
,使得直线
的斜率等于
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
试题(1)求导后利用判别式和函数图像与轴的交点,分类讨论函数的单调区间;(2)先假设存在
使得直线
的斜率等于
,利用公式将此化为
,整理这个式子,得到等式
.当
时,显然成立,当
时,利用换元法,令
,可将等式化为
,构造函数
,利用导数判断出
,即原方程无解,所以
.
试题解析:(1).令
,则
.
当,即
时,
对
恒成立,
的增区间为
,无减区间;当
,即
时,若
,则解得
,此时函数
的增区间为
和
,减区间为
;当
时,
,此时
的减区间为
,增区间为
.
(2)若函数图象上存在两点
使得
,即
,所以
① 当时,
对任意的
,且
都成立; ②当
时,有
,设
,则
,记函数
,则
.
所以当时,
,所以函数
在区间
上单调递增.又因为
,所以当
时,
,即方程
在区间
上无解,综上,存在实数
,满足题意.
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