Question

（本小题满分16分）已知在直角坐标系中，，其中数列都是递增数列。
（1）若，判断直线与是否平行；
（2）若数列都是正项等差数列，设四边形的面积为．
求证：也是等差数列；
（3）若,，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数。

Answer 1

⑴由题意、、、．
∴，．…………………………………（2分）
，∴与不平行． ……………………………………（4分）
⑵、为等差数列，设它们的公差分别为和，则，
由题意．……………………………（6分）
∴
，……（8分）
∴，∴是与无关的常数，
∴数列是等差数列．……………………………………………………………（10分）
⑶

、，∴．
又数列前项依次递减，
∴对成立，即对成立．………………（12分）
又数列是递增数列，∴，只要时，即即可．
又，联立不等式，作出可行域（如右图所示），易得或．…………（14分）
当时，，即，有解；
当时，，即，有解．∴数列共有个．（16分）
另解：也可直接由得．又，则或．下同

略