题目内容
【题目】已知无穷集合A，B，且
，
，记
，定义：满足
时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合
，
.判断2019和2020是否属于集合
，并说明理由；
（Ⅱ）设集合
，
.
（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记
和
分别表示集合A，B中不大于n（
）的元素个数，写出满足
的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）
【答案】（Ⅰ）
，
；见解析（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由a为奇数，b为偶数，可得
为奇数，即可判断2019和2020是否属于集合
；
（Ⅱ）（ⅰ）对于任意自然数p可表示为唯一一数组（
，
，
，…，
，…，
），其中
，1；
，1，…，k，
，使得
，，1；，1，…，k，，考虑自然数p的个数即可得证；再证
，其中，1；
，1；，1，…，k，，则
.由反证法即可得证；
（ⅱ）考虑集合中元素为奇数，可为.
（Ⅰ）由
，
得
是奇数，
当
，
时，
，
所以，；
（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组（，，，…，，…，），
其中，1；，1，…，k，，
使得，，1；，1，…，k，，
由于
，
这种形式的自然数p至多有
个，且最大数不超过
.
由，1；，1，…，k，，每个都有两种可能，
所以这种形式的自然数p共有
个结果.
下证
，
其中，1；，1；，1，…，k，，则.
假设存在
中，取i最大数为j，
则
，
所以
不可能.
综上，任意正整数p可唯一表示为
显然
，
，
满足
，所以集合A，B互为“完美加法补集”.
（ⅱ）.
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