题目内容
【题目】已知无穷集合A,B,且,
,记
,定义:满足
时,则称集合A,B互为“完美加法补集”.
(Ⅰ)已知集合,
.判断2019和2020是否属于集合
,并说明理由;
(Ⅱ)设集合,
.
(ⅰ)求证:集合A,B互为“完美加法补集”;
(ⅱ)记和
分别表示集合A,B中不大于n(
)的元素个数,写出满足
的元素n的集合.(只需写出结果,不需要证明)
【答案】(Ⅰ),
;见解析(Ⅱ)(ⅰ)见解析;(ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由a为奇数,b为偶数,可得为奇数,即可判断2019和2020是否属于集合
;
(Ⅱ)(ⅰ)对于任意自然数p可表示为唯一一数组(,
,
,…,
,…,
),其中
,1;
,1,…,k,
,使得
,
,1;
,1,…,k,
,考虑自然数p的个数即可得证;再证
,其中
,1;
,1;
,1,…,k,
,则
.由反证法即可得证;
(ⅱ)考虑集合中元素为奇数,可为.
(Ⅰ)由,
得
是奇数,
当,
时,
,
所以,
;
(Ⅱ)(ⅰ)首先证明:对于任意自然数p可表示为唯一一数组(,
,
,…,
,…,
),
其中,1;
,1,…,k,
,
使得,
,1;
,1,…,k,
,
由于,
这种形式的自然数p至多有个,且最大数不超过
.
由,1;
,1,…,k,
,每个
都有两种可能,
所以这种形式的自然数p共有个结果.
下证
,
其中,1;
,1;
,1,…,k,
,则
.
假设存在中,取i最大数为j,
则
,
所以不可能.
综上,任意正整数p可唯一表示为
显然,
,
满足,所以集合A,B互为“完美加法补集”.
(ⅱ).

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