Question

【题目】已知函数.

（1）若，证明：当时，；

（2）若是的极大值点，求正实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）对函数求导，则，再令，则，得出导函数的正负，可得出函数的单调性，继而判断导函数的正负，从而可得出函数的单调性，可得证；

（2）分两种情况和，分别讨论得出函数的单调性，由已知可得出正实数a的取值范围.

（1）由题知，，

令，则，

若，当时，

，

所以在上单调递增，

所以，所以在上单调递增；

所以.

（2）①若，由（1）知：在上单调递增；

因此不可能是的极大值点.

②若，令，

因为当时，，所以即在上单调递增.

又因为，，

因此存在满足：，所以当时，，

所以在上单调递减，，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递增；在上单调递减；

综上，当是的极大值点时，.