题目内容
16．数列{an}满足an=-an-1+16an-2-20an-3，n≥3，已知初始值a0=0，a1=1，a2=-1，求{an}的通项公式．分析 通过对an=-an-1+16an-2-20an-3（n≥3）变形可知an+3an-1-10an-2=2（an-1+3an-2-10an-3）（n≥3），进而可知数列{an+2+3an+1-10an}是首项为4、公比为2的等比数列，从而an+2+3an+1-10an=2n+1，对其两边同时除以2n+2得$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，并变形可知$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{2}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{2}$，计算可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+1}{2}$，再次变形的$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{7}$-$\frac{5}{49}$=-$\frac{5}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$），进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$}是首项为$\frac{25}{98}$、公比为-$\frac{5}{2}$的等比数列，计算即得结论．
解答 解：∵an=-an-1+16an-2-20an-3（n≥3），
∴an+3an-1-10an-2=2（an-1+3an-2-10an-3）（n≥3），
又∵a0=0，a1=1，a2=-1，
∴a3+3a2-10a1=2（a2+3a1-10a0）=2（-1+3-0）=4，
∴数列{an+2+3an+1-10an}是首项为4、公比为2的等比数列，
∴an+2+3an+1-10an=2n+1，
两边同时除以2n+2，得：$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{2}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{2}$=…=$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{1}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+$\frac{5}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{7}$-$\frac{5}{49}$=-$\frac{5}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$），
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$-$\frac{1}{7}$-$\frac{5}{49}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{7}$-$\frac{5}{49}$=$\frac{25}{98}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$}是首项为$\frac{25}{98}$、公比为-$\frac{5}{2}$的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{7}$-$\frac{5}{49}$=$\frac{25}{98}$•$（-\frac{5}{2}）^{n-1}$，
∴数列{an}的通项公式an=[$\frac{n}{7}$+$\frac{5}{49}$+（-1）n-1•$\frac{{5}^{n+1}}{49•{2}^{n}}$]•2n．
点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．
轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案| A． | r1，r2，r3成等差数列 | B． | $\frac{1}{{r}_{1}}$+$\frac{1}{{r}_{2}}$=$\frac{2}{{r}_{3}}$ | ||
| C． | r1，r2，r3成等比数列 | D． | 以上结论全不对 |
如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且$\frac{AO}{OA′}=\frac{BO}{OB′}=\frac{CO}{OC′}=\frac{2}{3}$．