题目内容
4．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上取三点，其横坐标满足x1+x3=2x2，三点与某一焦点的连线段长分别为r1，r2，r3．则r1，r2，r3满足（ ）| A． | r1，r2，r3成等差数列 | B． | $\frac{1}{{r}_{1}}$+$\frac{1}{{r}_{2}}$=$\frac{2}{{r}_{3}}$ | ||
| C． | r1，r2，r3成等比数列 | D． | 以上结论全不对 |
分析 由椭圆的第二定义可得：$\frac{{r}_{1}}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{1}}=e$，化为r1=a-ex1，同理可得：r2=a-ex2，r3=a-ex3．利用x1+x3=2x2，代入化简即可得出．
解答 解：由椭圆的第二定义可得：$\frac{{r}_{1}}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{1}}=e$，化为r1=a-ex1，
同理可得：r2=a-ex2，r3=a-ex3，
∵x1+x3=2x2，
∴$\frac{a-{r}_{1}}{e}$+$\frac{a-{r}_{3}}{e}$=2$\frac{a-{r}_{2}}{e}$，
化为r1+r3=2r2．
∴r1，r2，r3成等差数列．
故选：A．
点评 本题考查了椭圆的第二定义及其性质、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圆的一条切线，且l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1交于不同的两点A，B． 