题目内容
8.求证:1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<2(n∈N*)分析 当n≥2时,$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,对不等式的左边,从第二项起,运用放缩法和累加法,即可得证.
解答 证明:当n≥2时,$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,
即有1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<1+(1-$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+…+($\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$)
=2-$\frac{1}{n}$<2.
则有1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<2(n∈N*).
点评 本题考查不等式的证明,考查放缩法证明不等式的方法,注意从第二项放缩,是解题的关键.
练习册系列答案
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19.一台使用的时间较长的机器,按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少,随机器的运转的速度而变化,下表为抽样试验的结果:
(1)如果y对x线性相关,且回归直线方程y=0.7286x-a,依据表中数据求a的值;
(2)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?(精确到0.0001)
参考公式:$\left\{\begin{array}{l}\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \hat a=\overline y-\hat b\overline x\end{array}\right.$.
转速x(转/秒) | 16 | 14 | 12 | 8 |
每小时生产有缺点的零件数y件) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(2)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?(精确到0.0001)
参考公式:$\left\{\begin{array}{l}\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \hat a=\overline y-\hat b\overline x\end{array}\right.$.
16.已知直线l1:x+2y-5=0,l2:2x+y+2=0,则直线l1与直线l2及x轴所围成的三角形的面积是( )
A. | 12 | B. | 18 | C. | 24 | D. | 30 |
20.为分析某一位同学在高一学年里的学习状态,现对他在高一六次测试的数学成绩年级排名x和物理成绩年级排名y进行了统计,如表:
(1)试分析该同学数学和物理成绩那科更加稳定?并证明你的结论?
(2)若该学生的物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系,并通过最小二乘法原理计算得到回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.45x+$\stackrel{∧}{a}$,现知他在期末考试中他的数学成绩年级排名第40名,试估计他的物理成绩年级排名.
数学成绩排名x | 8 | 20 | 16 | 24 | 30 | 22 |
物理成绩排名y | 13 | 18 | 22 | 22 | 24 | 21 |
(2)若该学生的物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系,并通过最小二乘法原理计算得到回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.45x+$\stackrel{∧}{a}$,现知他在期末考试中他的数学成绩年级排名第40名,试估计他的物理成绩年级排名.
17.设离散型随机变量X的概率分布如表:则随机变量X的数学期望为( )
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
Pi | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | p |
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{5}{3}$ | D. | $\frac{7}{6}$ |