题目内容

8.求证:1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<2(n∈N*

分析 当n≥2时,$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,对不等式的左边,从第二项起,运用放缩法和累加法,即可得证.

解答 证明:当n≥2时,$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,
即有1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<1+(1-$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+…+($\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$)
=2-$\frac{1}{n}$<2.
则有1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<2(n∈N*).

点评 本题考查不等式的证明,考查放缩法证明不等式的方法,注意从第二项放缩,是解题的关键.

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