题目内容

【题目】设函数f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当m≥1时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.

【答案】
(1)解:f(x)的定义域是(0,+∞),m>0,

f′(x)=

令f′(x)>0,解得:x> ,令f′(x)<0,解得:x<

∴f(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增


(2)解:f(x)与g(x)图象的交点个数,

即函数h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣ x2﹣mlnx+(m+1)x的零点个数问题,

h′(x)=﹣

令h′(x)>0,解得:1<x<m,令h′(x)<0,解得:x>m或x<1,

∴h(x)在(0,1)递减,在(1,m)递增,在(m,+∞)递减,

∴h(x)极小值=h(1)=m+ >0,

∴h(x)和x轴有1个交点,

即函数f(x)与g(x)图象的交点个数是1个


【解析】(1)先求出函数的导数,解关于导函数的不等式,从而求出函数的单调区间;(2)问题转化为求函数h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣ x2﹣mlnx+(m+1)x的零点个数问题,通过求导,得到函数h(x)的单调区间,求出h(x)的极小值,从而求出函数h(x)的零点个数即f(x)和g(x)的交点个数.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.

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