Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=（﹣x2+ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）=（﹣x2+2x）ex，f′（x）=﹣（x2﹣2）ex

令f′（x）＞0，得x2﹣2＜0，∴﹣ ＜x＜

∴f（x）的单调递增区间是（﹣ ， ）；

（2）解：f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex，若f（x）在（﹣1，1）内单调递增，即当﹣1＜x＜1时，f′（x）≥0，

即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0对x∈（﹣1，1）恒成立，

即a≥ 对x∈（﹣1，1）恒成立，

令y= ，则y′=

∴y= 在（﹣1，1）上单调递增，∴y＜1+1﹣ =

∴

当a= 时，当且仅当x=0时，f′（x）=0

∴a的取值范围是[ ，+∞）．

【解析】（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；（2）f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex ， 若f（x）在（﹣1，1）内单调递增，即当﹣1＜x＜1时，f′（x）≥0，即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0对x∈（﹣1，1）恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．