Question

【题目】已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数），g（x）= x+m（m，n∈R）．

（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在[0，1]上的最大值；

（2）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e2＜]．

Answer 1

【答案】（1）当时最大值为；当时最大值为 （2）14

【解析】试题分析：

(1)首先求得函数的解析式，然后利用导函数研究函数的最值可得当时最大值为 ；当时最大值为 ；

(2)将问题转化为 恒成立，讨论可得最大正整数n为14．

试题解析：

解：（1）T（x）=f（x）g（x）

=ex（x+m）=ex（x+1﹣）；

故T′（x）=ex（x+1）；

则当n≥﹣2时，T′（x）≥0；

故T（x）在[0，1]上的最大值为T（1）=e；

当n＜﹣2时，x∈[0，﹣）时，T′（x）＞0；x∈（﹣，1]时，T′（x）＜0；

T（x）在[0，1]上的最大值为T（﹣）=﹣；

（2）由题意，f（x）=ex，g（x）=x﹣；

故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为

F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣x+＞0恒成立；F′（x）=ex﹣；

故F（x）在（﹣∞，ln）上是减函数，在（ln，+∞）上是增函数；

故可化为F（ln）＞0；即（1﹣ln）+＞0；

令G（n）=（1﹣ln）+；故G′（n）=﹣（ln+1）＜0；

故G（n）=（1﹣ln）+是[1，+∞）上的减函数，

而G（2e2）=﹣e2+＞0；G（14）=7（1﹣ln7）+＞0；

G（15）=7.5（1﹣ln7.5）+＜0；故最大正整数n为14．