Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若4sinAsinB-2cos（A-B）=$\sqrt{2}$．
（1）求角C的大小：
（2）已知$\frac{asinB}{sinA}=4$，△ABC的面积为8，求边长c的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式可得2cos（A+B）=-2cosC=-$\sqrt{2}$，解得cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合范围C∈（0，π），即可求值．
（2）由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}=4$，利用三角形面积公式可求a的值，由余弦定理可求得c的值．

解答 解：（1）∵4sinAsinB-2cos（A-B）=$\sqrt{2}$．即：4sinAsinB=2cos（A-B）+$\sqrt{2}$=2cosAcosB+2sinAsinB+$\sqrt{2}$．
∴可得：2cosAcosB-2sinAsinB+$\sqrt{2}$=0，解得：2cos（A+B）=-2cosC=-$\sqrt{2}$，
∴cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C为三角形内角，C∈（0，π），
∴解得：C=$\frac{π}{4}$．
（2）∵由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}=4$，可得：△ABC的面积：8=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×a×4×\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=4$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{32+16-2×4\sqrt{2}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=4．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题．